Solução da equação de segundo grau e Bháskara
Seja uma equação genérica $ax^2+bx+c=0$ a equação que será resolvida para $x$, com $a,b,c\in R$. Iguala-se a zero pois qualquer valor diferente de zero pode ser subtraído dos dois lados da equação, obtendo-se um novo valor $c$.
Uma estratégia é a de completar quadrados, que é basicamente a operação inversa de
$ (c + d)^2 = c^2 + 2cd + d^2 $
e pela semelhança dos dois primeiros termos do lado direito com os dois primeiros termos da equação de segundo grau define-se os valores “c” e “d”, assim completando um “valor dentro do parênteses” ao quadrado.
Se o valor $a$ for $a = 0$, tem-se uma equação $0x^2 + bx + c = 0$, que se resume a $bx + c = 0$, uma equação de primeiro grau em $x$. Deseja-se então resolver equações de segundo grau em $x$, então necessariamente são equações em que o valor $a\neq0$. Por ser diferente de zero, pode-se dividir os dois lados da equação por $a$, para simplificar a operação de completar quadrados. Tem-se então
$ x^2 + \Big(\frac{b}{a}\Big)x + \Big(\frac{c}{a}\Big) = 0 $,
o que já se faz perceber que o valor “c” do modelo de completar quadrados pode ser substituído pelo valor $x$ para este uso do modelo. Assim, avalia-se então o segundo termo do lado direito da equação 1 com o segundo termo do lado esquerdo da equação 2, já que o valor “c” já está definido. Para definir o valor “d”, que conclui a ação de “completar quadrados”, por semelhança,
$ 2cd=\frac{b}{a}x \xrightarrow{c=x} 2xd=\frac{b}{a}x \Rightarrow d=\frac{b}{2a} $.
Tem-se então um modelo “$(c+d)^2$” sendo um valor
$\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2$.
Porém, só substituir os dois primeiros termos da equação 2 não resolve pois $x^2 + \Big(\frac{b}{a}\Big)x \neq \Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2$. Eles só se diferem por um termo, felizmente. Este lado direito vale $\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)=x^2+2\Big(\frac{b}{2a}\Big)x+\frac{b^2}{4a^2}$, ou seja, sobraria um termo "$\frac{b^2}{4a^2}$". Então, para substituir os dois primeiros termos da equação 2, é suficiente usar o valor
$\Big(x+\frac{b}{2a}\Big) - \frac{b^2}{4a^2} = x^2+\frac{b}{a}x$.
A equação 2 se transforma então em
$ \Big(x+\frac{b}{2a}\Big) - \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = 0$.
Por conveniência, pode-se agrupar o segundo e terceiro termo da equação 3 por serem valores independentes de $x$ ($x$ para o qual queremos resolver a equação, isolá-lo). Reescreve-se a equação 3 por $\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2 - \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} = 0 \rightarrow \Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}$.
Percebe-se aqui o valor $b^2-4ac$, valor conhecido pelo nome de discriminante e também escrito de forma simplificada pela letra $\Delta$. Caso o valor $\Delta$ seja positivo vê-se mais a frente que a equação possui valores de $x$ que são reais. Caso $\Delta<0$, os valores de $x$ não serão reais. Isso se deve ao termo que contém $\sqrt{\Delta}$, herdando propriedades da radiciação.
Como a diferença dos dois termos é zero, pode-se dizer que o primeiro termo é igual ao segundo.
$\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$
e a solução desse valor $x+\frac{b}{2a}$ que está ao quadrado se dá por
$x+\frac{b}{2a} = \Big|\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}\Big| = \Big|\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big|$
como a raiz é um valor positivo (considerando esta solução para valores reais de $x$) o módulo é o próprio valor, e avaliando o módulo de $2a$, tem-se
$x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$ x = -\frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
e por fim, a famosa solução
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Já o nome de Bháskara é usado como homenagem ao matemático indiano Bhaskara Acharya, quem escreveu livros importantes para a matemática e já sabia como chegar em soluções de equações de segundo grau, pois os indianos possuíam meios de chegar nas soluções no mínimo haviam 600 anos antes de seu nascimento.